3.37 \(\int (c+d x)^3 \sec ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=337 \[ -\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{(c+d x)^3 \tan (a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

((-6*I)*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b + ((3*I)*d^3*Po
lyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*
d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*
(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)
*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((3*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*
Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.268809, antiderivative size = 337, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 15, number of rules used = 8, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {4186, 4181, 2279, 2391, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ -\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{(c+d x)^3 \tan (a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

((-6*I)*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (I*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b + ((3*I)*d^3*Po
lyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*
d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((3*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*
(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)
*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((3*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*
Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a + b*x])/(2*b)

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \sec ^3(a+b x) \, dx &=-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}+\frac{1}{2} \int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \sec (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.93546, size = 311, normalized size = 0.92 \[ \frac{3 i d \left (b^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )+2 i b d (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )-2 d^2 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )\right )-3 i d \left (b^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )+2 i b d (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )-2 d^2 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )\right )-2 i b^3 (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )-3 b^2 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)+b^3 (c+d x)^3 \tan (a+b x) \sec (a+b x)-6 i d^2 \left (2 b (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )-d \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )+d \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

((-2*I)*b^3*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*d^2*(2*b*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] - d*PolyLog
[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + d*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))]) + (3*I)*d*(b^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(
a + b*x))] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 2*d^2*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))]) -
(3*I)*d*(b^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] - 2
*d^2*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))]) - 3*b^2*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x] + b^3*(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]*Tan[a +
b*x])/(2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.458, size = 1127, normalized size = 3.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^3,x)

[Out]

I/b^4*d^3*a^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+3/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-3/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,I*
exp(I*(b*x+a)))-3/2*I/b^2*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+3/2*I/b^2*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+6
*I/b^4*d^3*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^3*c*d^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-1/2/b^4*d^3*a^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a))
)+3/b^3*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^3*c*d^2*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))-3/b^3*d^3*polylog(3,-I*exp(I
*(b*x+a)))*x+3/b^3*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^4*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-3/b^3*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x
+a)))*x-I/b*c^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))-I/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))+1)^2*(d^3*x^3*b*exp(3*I*(b*x+a))+3*c*d^2*x^2*b*
exp(3*I*(b*x+a))+3*c^2*d*x*b*exp(3*I*(b*x+a))-d^3*x^3*b*exp(I*(b*x+a))+c^3*b*exp(3*I*(b*x+a))-3*c*d^2*x^2*b*ex
p(I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(3*I*(b*x+a))-3*c^2*d*x*b*exp(I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(3*I*(b*x+a))-c^3*b*exp(I*
(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(3*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(I*(b*x
+a)))+3*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-3*I/b^2*c*d^2*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x-3*I/b^3*c*d^2*a
^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*c^2*d*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))-3/b^4*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a+1/2/b^4*d^
3*a^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))-3/b^3*c*d^2*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))-1/2/b*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^3+1/2
/b*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^3-3*I*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*I*d^3*polylog(4,-I*exp(I*(b*x+a)))
/b^4+3*I*d^3*polylog(4,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+3/2/b^3*a^2*c*d^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))-3/2/b*c*d^2*ln(1+I*exp(I
*(b*x+a)))*x^2+3/2/b*c*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-3/2/b*c^2*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-3/2/b^2*c^2*d*ln(1+
I*exp(I*(b*x+a)))*a-3/2/b^3*a^2*c*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+3/2/b*c^2*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x+3/2/b^2*c^2*
d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+3*I*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 7.55126, size = 5168, normalized size = 15.34 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/4*(c^3*(2*sin(b*x + a)/(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1)) - 3*a*c^2*d*(2
*sin(b*x + a)/(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b + 3*a^2*c*d^2*(2*sin(b*x
+ a)/(sin(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b^2 - a^3*d^3*(2*sin(b*x + a)/(sin
(b*x + a)^2 - 1) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b^3 + 4*((2*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b*c*d^2 - 1
2*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a) + 2*((b*x +
a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)
*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 4*((b*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*
(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 +
12*I*a*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 - 12*I)*d^
3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d
^3)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 + (-12*I*a^2 - 24*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arc
tan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (2*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x +
a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 4*((b
*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)
*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*
d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (-4
*I*(b*x + a)^3*d^3 - 24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d +
24*I*a*b*c*d^2 + (-12*I*a^2 - 24*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1
) + (4*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*a^2*d^3 + (12*b*c*d^2 - (12*a + 12*I)*d^3)*(b*
x + a)^2 + (12*b^2*c^2*d - (24*a + 24*I)*b*c*d^2 + 12*(a^2 + 2*I*a)*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - (4*(b*x
+ a)^3*d^3 + 12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*a^2*d^3 + (12*b*c*d^2 - (12*a - 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 +
(12*b^2*c^2*d - (24*a - 24*I)*b*c*d^2 + 12*(a^2 - 2*I*a)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*
c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*(a^2 + 2)*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b
*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 2)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2
+ (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 + 2)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a
*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*a^2 - 12*I)*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4
*a) - (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*a^2 - 24*I)*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*
I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d
^3 + 6*(a^2 + 2)*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 +
2)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^
2 + 2)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)
^2*d^3 + (6*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (12*I*b^2*c^2*d - 24
*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*a^2 + 24*I)*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x
+ 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) - (-I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3
)*(b*x + a)^2 + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 + (-3*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*
b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 + (-3*I*a^2 - 6
*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I
*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 + (-6*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) +
((b*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 +
2)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a
)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x +
a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) - (I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x + a
)^2 + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + (3*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I
*a*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + (3*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x +
a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*I*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^
2 + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + (6*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^3*d^3 + 6
*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*
sin(4*b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^3*d^3 + 6*b*c*d^2 - 6*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d -
2*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a
) + 1) - (12*d^3*cos(4*b*x + 4*a) + 24*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 24*I*d^3*sin(2*b*x +
2*a) + 12*d^3)*polylog(4, I*e^(I*b*x + I*a)) + (12*d^3*cos(4*b*x + 4*a) + 24*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^3*
sin(4*b*x + 4*a) + 24*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 12*d^3)*polylog(4, -I*e^(I*b*x + I*a)) - (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*
(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (-24*I*b*c*d
^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a)
+ 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) - (12*I*b*c*d^2 + 12*I
*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3 + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (24*I*b*c*d^
2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a)
- 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) - (-4*I*(b*x + a)^3*d^
3 - 12*b^2*c^2*d + 24*a*b*c*d^2 - 12*a^2*d^3 - 12*(I*b*c*d^2 + (-I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (-12*I*b^2*c^2*d
- 24*(-I*a + 1)*b*c*d^2 + (-12*I*a^2 + 24*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) - (4*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*b^2*
c^2*d + 24*a*b*c*d^2 - 12*a^2*d^3 - 12*(-I*b*c*d^2 + (I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d - 24*(I*a +
1)*b*c*d^2 + (12*I*a^2 + 24*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-4*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) - 8*I*b^3*cos(2*b*x +
2*a) + 4*b^3*sin(4*b*x + 4*a) + 8*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 2.48923, size = 3213, normalized size = 9.53 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(6*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, I*co
s(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 6*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*I*d^3*cos(b
*x + a)^2*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d - 6
*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^
2*d - 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*
b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x
+ 3*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d +
3*(a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 6*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - (b^3*c^3 - 3*a*
b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 6*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) + (b^
3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 6*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos
(b*x + a)^2*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*
c*d^2 + (a^3 + 6*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + (
b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 6*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*c
os(b*x + a)^2*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2
*b*c*d^2 + (a^3 + 6*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)
+ (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 6*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-cos(b*x + a) + I*sin(
b*x + a) + I) - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 6*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-cos(b*x
+ a) - I*sin(b*x + a) + I) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) +
6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x
+ a)^2*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polylog(3, -I*cos(b*
x + a) - sin(b*x + a)) - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a) + 2*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d
^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*sin(b*x + a))/(b^4*cos(b*x + a)^2)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{3} \sec ^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*sec(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*sec(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \sec \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*sec(b*x + a)^3, x)